前 言　　学生和教师对本书前四个版本的反响十分令人满意. 第5版在第4版的基础上为课程教学和软件技术应用提供了更多支持. 像以前一样，本书给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，使得已完成大学两个学期数学课程（如学完微积分）的学生容易接受.　　本书的主要目的是帮助学生掌握以后课程学习所需要的基本概念和基本技能. 教材的主题是根据“线性代数课程研究小组”的建议选择的，该建议基于认真分析学生的实际需要和许多不同专业使用线性代数知识的共同点而提出. 希望这门课能够成为本科生最有用和最有趣的数学课程之一.新增内容　　本版的主要目的是修订习题，进行技术上的改进，并为概念的学习提供更多支持.　　1）对第5版的支持是由MyMathLab提供的. MyMathLab是世界领先的数学在线资源，以灵活、易于使用的格式将交互式作业、评估和媒体整合在一起. 学生在线提交作业，获得即时反馈、支持和评估. 这个系统对计算技能特别有效. 许多额外的资源也是由MyMathLab网站提供的.　　2）第5版提供了交互式电子格式文本，使用由Wolfram提供的一个免费数学播放器CDF，学生可以看到交互式图形，可以通过查看数值例子用矩阵进行实验，只需点一下按钮. 通过这些交互式图形，线性代数的几何结构变得生动起来. 通过实验鼓励学生做出猜想，然后通过相关理论和证明，验证他们的观察是正确的. 交互资源让学生有机会去接触数学对象和思想，就像做研究一样. Wolfram CDF播放器也能在课堂演示中使用.　　3）第5版提供了对概念学习和证明学习的额外支持，增加了概念练习题及其解答，现在大多数章节都有一个证明或概念的例子供学生复习. 额外的指导也被加入书中一些定理的证明中.　　4）超过25%的习题是新增或修改的，尤其是计算习题. 习题的设置仍然是这本书最具特色的内容之一，并且新习题保持着与前四版一样的高标准. 精选的习题用于复习每个章节所学的内容，激发学生的学习兴趣，开拓新的思路，培养他们的自信心.鲜明的特色　　提前介绍重要概念　　本书前7章介绍了许多建立在( n上的线性代数基本概念，然后从不同的观点逐步深入讨论. 接下来，用第1章给出的熟悉思想的自然扩展来泛化这些概念. 我们认为，本教材的主要特色是全书的难度一样.　　矩阵乘法的现代观点　　好的记号是关键，且教材反映了科学家和工程师实际应用线性代数的方式. 本书在定义和证明中处理的是矩阵的列，而不是矩阵的元素，核心课题是将矩阵向量乘积Ax作为关于A的列的一个线性组合. 这种现代方法简化了许多论述，且将向量空间思想和线性方程组的研究联系在一起.　　线性变换　　用线性变换作为线索贯穿整本教材，增强了本书的几何趣味. 例如，在第1章，线性变换给出一个动态的、几何观点下的矩阵向量乘法.　　特征值和动力系统　　特征值的概念出现在第5章和第7章. 由于这一内容分散在数周的教学中，学生会比平常更容易吸收和复习这些关键概念. 特征值来源并应用于离散动力系统和连续动力系统，相关内容出现在1.10节、4.8节、4.9节和第5章的五节中. 在授课时可以选择不讲授第4章，而是在讲完2.8节和2.9节的内容以后直接进入第5章的学习. 这两节可选的学习内容给出了第4章中出现的向量空间的概念，为第5章的学习奠定了基础.　　正交性和最小二乘法　　与普通入门教材相比，本书对这些主题的讨论更全面. “线性代数课程研究小组”强调需要正交性和最小二乘问题的内容，这是由于正交性在计算机计算和线性代数的数值计算中起着重要作用，且实际工作中经常会出现不相容的线性方程组.教学的特色　　应用　　广泛选取的应用说明了线性代数的作用，线性代数可以用于在工程学、计算机科学、数学、物理学、生物学、经济学和统计学中解释基本原理和简化计算. 一些应用出现在单独的章节中，其他的应用是作为例题和习题而引入的. 此外，每一章的开头给出一个线性代数应用的简短介绍，由此引出数学理论的发展. 然后，在该章结束的部分又回到开始提到的应用.　　重点强调几何特点　　由于许多学生更容易接受形象化的概念，所以对书中的每个主要概念都给出几何解释. 本书包含较多的几何图形，且一些图形是以前的线性代数教材中没有出现过的. 这些图形的交互版本出现在本书的电子版中.　　例题　　与大多数线性代数教材相比，本书有更多的例题，比平常课堂上更多. 由于例题清晰，步骤详细，因此学生可以自学.　　定理和证明　　重要的结果以定理的形式给出，其他有用的事实放在方框中，便于参考. 大多数定理有正式证明，写法易于理解. 在少数情形中，仔细选取的例题证明中展示了基本计算过程. 一些常规的验证保留在习题中，这对学生是有益的.　　练习题　　在习题之前有几个仔细选取的练习题，其解答在习题之后给出. 这些练习题或者集中于习题中的潜在难点，或者给出做习题前的热身，且解答常包含有用的提示.　　习题　　提供的大量习题包含平常的计算题和需要深入思考的概念题，一些习题针对多年来我们在学生作业中发现的概念难点. 每一个习题都按照课本中内容的顺序仔细排列，这样当每节的一部分内容讲授之后，就可以安排家庭作业. 习题的一个显著特色是数值计算不复杂，问题很快被“展开”，学生在数值计算上花费时间很少，习题主要是为了让学生理解教学内容而不是进行机械计算.　　标有符号[M]的习题说明该题需要借助“矩阵软件”（计算机软件，如MATLAB、Maple、Mathematica、MathCad、Derive，或者有矩阵功能的可编程计算器，如那些由德州仪器制造的仪器）完成.　　判断题　　为鼓励学生阅读全部课本内容且深入思考，本书设计了300道简单的判断题，出现在33节内容之中，并放在计算题之后. 可以通过阅读课本内容来回答这些问题，从而使学生可以准备好回答随后的概念题. 学生在习惯了仔细阅读课本内容之后，会喜欢这类题目. 基于课堂测验以及与学生进行探讨，我们决定不将答案放在课本中.（学习指导将指出在哪里有奇数号习题的答案.）补充的150道判断题（大部分在每章末尾）用于检验学生对内容的理解程度. 对大部分这类问题，教材中提供了简单的正确/错误回答，但是省略了答案的验证（通常需要进一步思考才可完成）．　　写作题　　写出严谨的数学论述，不仅对那些希望成为数学系研究生的学生，而且对所有学习线性代数的学生都十分必要. 本书包含的证明大多是习题答案的一部分. 需要简短证明的概念题，常包含可以帮助学生开始解题的提示. 对所有奇数的写作题，或者在课本的后面给出解答或提示，或者在后面描述的“学习指导”（Study Guide）中给出解答.　　计算主题　　本书强调计算机对科学和工程中线性代数的发展和实践的影响，书中有许多“数值计算的注解”指出数值计算中出现的问题，以及理论概念（如矩阵求逆）和计算机实现（如LU分解）之间的区别.网上支持1　　网站www.pearsonhighered.com/lay包含了学习本课程所需要的支持材料.　　MyMathLab——在线作业和资源　　MyMathLab（www.mymathlab.com）包含用数以百计的算法生成的练习，这些练习反映在书中.　　交互式教科书　　第5版提供了交互式电子格式的文本，可使用由Wolfram（www.wolfram.com/player）提供的一个免费数学播放器CDF查阅.　　复习资料　　对学生而言，网站提供的复习资料和练习试卷（附答案）能帮助他们有效地复习书中的要点. 它们直接来自于近年来我们所教授的课程. 每份复习资料给出了教材指定部分中重要的定义、定理和计算技巧.　　各章应用　　网站包含的7个案例研究扩展了每章开始所介绍的主题，增加了现实世界的数据，提供了进一步探索的机会. 另外，20多个应用项目或者扩展了教材中的主题，或者介绍了新的应用，例如立方体样条、飞机航线、运动比赛中的优势矩阵以及纠错码. 一些新的数学应用是积分方法、多项式根的求解、圆锥曲线、二次曲面和二元函数的极值. 线性代数的数值计算主题，如条件数、矩阵因式分解和求特征值的QR方法，也包含在内. 在每个项目中都编有涉及大数据集的习题（因此需要使用计算机软件来求解）.　　软件入门　　如果课程中需要使用MATLAB、Maple、Mathematica或者TI计算器，可以参考网站上对软件使用的介绍.另外，“学习指导”中也为第一次接触上述软件的用户提供了详细说明.　　数据文件　　对教材中的900道数值计算题、案例研究和应用项目，网站上提供了数百个相应的数据文件. 这些数据以多种格式存储，分别用于MATLAB、Maple、Mathematica以及TI计算器. 对一道特定的题目，学生只需通过少量的键盘操作就可以得到矩阵和向量，从而减少了输入数据的错误，并可节省做作业的时间. 这些数据文件可以从www.pearsonhighered. com/lay和MyMathLab下载使用.　　项目　　对Mathematica、Maple和MATLAB，探究性项目引导学生去发现线性代数中基础的数学与数值问题. 它们是由有经验的教员编写的. 这些项目探究的是有关基本概念，如列空间、对角化和正交投影；一些项目重点讨论数值计算问题，比如浮点计算、迭代法和SVD；还有一些项目探究应用，如拉格朗日插值与马尔可夫链.　　在线章节　第9章 最优化介绍性实例 柏林空运9.1 矩阵对策9.2 线性规划——几何法9.3 线性规划——单纯形法9.4 二元性第10章 有限态马尔可夫链介绍性实例 Google马尔可夫链10.1 讲解与示范10.2 稳态向量和Google PogeRank10.3 通信类10.4 状态分类和周期性10.5 基本矩阵10.6 马尔可夫链和棒球统计　补充内容　　学习指导　　平装本的“学习指导”低价即可得到，这个指导也是该课程不可或缺的一部分. 它给出每第三个奇数习题的详细解答，用以帮助学生检查作业. 它还为“奇数习题答案”中包含“提示”的写作题提供了完整答案. 多次出现的“警告”用于提醒学生易犯的错误以及如何避免出错. MATLAB框中介绍了一些需要使用的命令.“学习指导”的附录内包含Maple、Mathematica和TI计算器的对照信息（ISBN：0-321-98257-6）.　　教师版　　为方便教师，这个特殊版本包含所有习题的简单答案，课本开始在“给教师的注释”中给出了有关课程内容设计和组织的解释，以帮助教师安排课程. 该版本还提供了专为教师准备的其他支持材料（ISBN：0-321-98261-4）.致谢　　David C. Lay的致谢　　我真诚地感谢多年来以各种方式帮助我的许多人.　　感谢Israel Gohberg和Robert Ellis长达15年的线性代数合作研究，他们帮助我形成了线性代数的观点. 与David Carlson、Charles Johnson和Duane Porter一起在“线性代数课程研究小组”工作是我的荣幸，在几个重要方面，他们关于线性代数教学的思想影响着本教材.　　最后，感谢三位好朋友——出版商Greg Tobin、以前的编辑Laurie Rosatone和现在的编辑William Hoffman，他们几乎从一开始就给予了明智的建议和鼓励，真诚地感谢他们.　　Steven R. Lay和Judi J. McDonald的致谢　　很高兴能参与David C. Lay教授的《线性代数及其应用》第5版的编写工作. 在这一版的修订过程中，我们尽力保持学生和教师所熟悉的之前版本的叙述方法和写作风格.　　我们诚挚地感谢以下审稿人，感谢他们细致入微的分析和创新性建议：马里兰大学的Kasso A. Okoudjou，加州大学伯克利分校的Falberto Grunbaum，加州大学圣克鲁兹分校的Ed Migliore，得克萨斯南方大学的Maurice E. Ekwo，得克萨斯大学奥斯汀分校的M. Cristina Caputo，纽约大学的Esteban G. Tabak，西北大学的John M. Alongi，波士顿大学的Martina Chirilus-Bruckner.　　感谢温思罗普大学的Thomas Polaski对在线章节第10章的贡献.　　感谢提供技术支持的专家，是他们不辞劳苦地为第5版准备数据、给教师编写笔记、在“学习指导”中为学生编写技术笔记、将他们的项目和大家一起分享，他们是：泰勒大学的Jeremy Case（MATLAB），南卡罗来纳大学的Douglas Meade（Maple），西方浸信会学院的Michael Miller（TI计算器），卡罗尔学院的Marie Vanisko（Mathematica）.　　感谢Eric Schulz在交互式电子书的制作中分享了他的专业技术知识和专业教育知识，他对我们的帮助和鼓励是无价的.　　感谢Kristina Evans和Phil Oslin对本书在线作业开发提供的专业技术帮助. 感谢对在线作业进行课堂测试的下列人员：Joan Saniuk，Robert Pierce，Doron Lubinsky，Adriana Corinaldesi. 还要感谢加州大学圣芭芭拉分校、阿尔伯塔大学、佐治亚理工大学对MyMathLab课程的反馈.　　感谢由Roger Lipsett、Paul Lorczak、Tom Wegleitner和Jennifer Blue提供的数学支持，他们对书中计算的准确性进行了仔细的校对.　　最后，我们由衷地感谢Pearson Education的工作人员在第5版的制作中的帮助：组稿编辑Kerri Consalvo，媒体编辑Jonathan Wooding，销售执行经理Jeff Weidenaar，项目经理Tatiana Anacki，销售助理Brooke Smith，编辑助理Salena Casha. 特别感谢现在的编辑William Hoffman，他在我们参与这本优秀的书籍修订工作中给予了极大的耐心和鼓励.关于本书教辅资源，只有使用本书作为教材的教师才可以申请，需要的教师请联系机械工业出版社华章公司，电话136 0115 6823，邮箱wangguang@hzbook.com. ——编辑注　给学生的注释　　这是一门最有趣、最有价值的大学数学课程. 事实上，一些学生在毕业以后告诉我们他们在大公司的工作或工程研究生院的学习中还使用本教材作为参考书. 下面的注释给出一些建议和信息，有助于你掌握课本内容并且从中得到乐趣.　　在线性代数中，概念和计算同样重要. 每个习题集开始的简单数值练习仅仅帮助你检查对基本步骤的理解. 以后，虽然计算机会进行数值计算，但你必须选取计算方法，知道如何解释结果，并且向其他人解释结果. 由于这个原因，课本中的许多习题要求你解释或验证计算. 书面解释经常是习题答案的一部分，对奇数习题，会有一个期望的解释或者好的提示. 在独立写出答案之前应尽量避免查阅这些答案，否则，你会认为你已理解实际上并不懂的问题.　　为掌握线性代数的概念，你必须仔细地反复阅读本书. 新的术语用黑体标示，有时写在定义框中. 书的最后给出一个术语表，便于参考. 重要的命题以定理的形式给出或放在方框中. 最好阅读一下前言中对本书结构的介绍，以对课程的框架有初步的理解.　　实际上，线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言. 理解每一节的内容并不容易，除非你已透彻地学习教材且全部做出该节前面的练习，跟上课程的进度会帮助你节约很多时间和解决很多困惑！ 数值计算的注解　　希望你阅读课本中的“数值计算的注解”，即使你现在没有在学习过程中使用计算机或图形计算器. 在实际生活中，线性代数的大多数应用涉及一定数值误差限制下的数值计算，即使误差相当小.“数值计算的注解”会指出你以后工作中使用线性代数的潜在困难，如果现在学习了这些注释，你以后就会容易记起这些内容.　　如果你对“数值计算的注解”有兴趣，以后可以学习一门线性代数的数值计算课程. 由于对计算机处理能力的更高需求，计算机科学家和数学家需要给出更快、更可靠的线性代数的数值算法，电子工程师需要设计出更快、更小的计算机去运行这些算法. 这是一个令人激动的领域，线性代数的第一堂课有助于你做好准备.学习指导　　为帮助你成功学习这门课程，我们写了一本配合本书的“学习指导”（www.mypearsonstore.com； 0-321-98257-6），从MyMathLab可以得到电子版本. 它不仅有助于你学习线性代数，而且说明了如何学习数学.　　“学习指导”包含每第三个奇数习题的详细解答，以及课本答案中仅有提示的奇数写作题的附加答案.?需要注意的是，之所以将“学习指导”与教材分开，是因为你必须在没有太多的帮助下独立完成作业. 多年的经验告诉我们，太容易查到教材后面的解答会妨碍学生数学能力的开发. “学习指导”还给出常见错误的警告、重点习题的有用提示和潜在考试题.　　“学习指导”还介绍了如何使用MATLAB、Maple、Mathematica和TI图形计算器，使用这些技术可以节约完成作业的时间. “学习指导”是你的“实验手册”，解释了如何使用这些矩阵程序. 你可以从www.pearsonhighered.con/lay下载课本中850多道习题的数据.（几次点击，便可以在屏幕上显示斜体数值计算作业的结果.）可以用特殊的矩阵命令进行计算！ 　　前几周的学习会培养出整个学期的学习习惯，并影响到学习效果. 请先阅读“如何学习线性代数”. 许多学生认为这些建议很有帮助，希望你也有同感.　　　　　　关 于 作 者　　David C. Lay在奥罗拉大学（伊利诺伊州）获得学士学位，在加利福尼亚大学洛杉矶分校获得硕士和博士学位. 自1966年以来，Lay一直从事数学研究和数学教育工作，大部分时间是在马里兰大学帕克学院工作. 他还是阿姆斯特丹大学、阿姆斯特丹自由大学和德国凯泽斯劳滕大学的访问教授. 在泛函分析和线性代数方面，他已经发表的论文超过30篇.　　作为美国NSF资助项目“线性代数课程研究小组”的核心成员，目前，Lay是线性代数课程现代化的领导者. 此外，他还是几本数学教材的合著者，包括与Angus E. Taylor合著的《Introduction to Functional Analysis》、与L. J. Goldstein和D. I. Schneider合著的《Calculus and Its Applications》，以及与D. Carlson、C. R. Johnson和A. D. Porter合著的《Linear Algebra Gems—Assets for Undergraduate Mathematics》.　　作为顶尖的教育家，Lay教授获得过四所大学的杰出教学奖，包括1996年获得马里兰大学著名学者-教师称号. 1994年，他获得美国数学联盟授予的著名大学数学教学奖. 他被大学生选为Alpha-Lambda-Delta国家荣誉专家协会和国家金钥匙荣誉协会的成员. 1989年，奥罗拉大学授予他杰出校友荣誉. Lay是美国数学学会、加拿大数学学会、国际线性代数协会、美国数学联盟、Sigma Xi以及美国工业和应用数学学会会员. 自1992年以来，他成为多届数学科学基督联盟全国委员会成员.　　Steven R.?Lay在加州大学洛杉矶分校获得数学硕士和博士学位后，于1971年在奥罗拉大学（伊利诺伊州）开始了他的教学生涯. 由于在日本当传教士，所以他的职业生涯中断了八年. 1998年回到美国后，他加入了李大学（田纳西州）数学系，此后一直在那里从事教学工作. 从那时起，他一直为他的哥哥David改进和扩展这本著名的线性代数教材提供帮助，包括撰写第8章和第9章的大部分内容. Steven还写了三本大学本科数学教科书：《Convex Sets and Their Applications》《Analysis with an Introduction to Proof?》《Principles of Algebra》.　　1985年，Steven获得了奥罗拉大学的卓越教学奖. Steven、David和他们的父亲Clark Lay博士都是杰出的数学家，1989年他们共同获得了母校奥罗拉大学的杰出校友奖. 2006年，Steven荣获李大学的优秀奖. 他是美国数学学会会员.　　Judi J.?McDonald与David紧密合作后在第4版加入了作者团队. 她拥有阿尔伯塔大学的数学学士学位以及威斯康星大学的硕士和博士学位. 她目前是华盛顿州立大学的教授. 她还开展数学课外项目——?数学中心（http://mathcentral.uregina.ca/），并且热衷于数学教育和研究，在线性代数研究期刊上发表了35篇出版物.　　Judi获得了三项教学奖：里贾纳大学的启发式教学奖、托马斯卢茨艺术学院的启发式教学奖以及华盛顿州立大学的科学教学奖. 她一直活跃在国际线性代数协会和妇女数学协会，同时也是加拿大数学学会、美国数学学会、美国数学联盟以及美国工业和应用数学学会的会员.